办公室里安静了下来。

庞学林和望月新一都在仔细研究者佩雷尔曼的手稿。

佩雷尔曼自己，则优哉游哉地喝着咖啡。

他是一个很耐得住性子的人，就算没人跟他说话，他一个人坐着，也能待上一整天。

时间一分一秒过去，临近中午的时候，庞学林找来左亦秋，让她帮三人订三份外卖。

吃完饭，庞学林和望月新一继续研究佩雷尔曼的手稿。

庞学林按照佩雷尔曼的思路，试图将整个霍奇猜想的证明过程从头到尾推演一遍。

不知不觉间，到了下午三点多。

望月新一终于抬起头说道“我感觉整体思路没什么问题，但细节推论，还需要进一步研究。”

佩雷尔曼不由得松了一口气，脸上露出笑容，将目光转向庞学林道“庞教授，你怎么看？”

庞学林没有说话，沉吟片刻，出声道“格里戈里，你过来一下。在手稿的第五页，引理334中30是定义在黎曼流形364中的区域上无临界点的光滑函数。在区域中30的最速下降线是水平集的正交曲线。换句话说，无临界点函数30的最速下降线就是在区域内切向量场6330的积分曲线。这里你准备如何求解水平集和最速下降线曲率？”

佩雷尔曼沉思片刻，拿起笔，在稿纸上写道

设{64341，64342}是单位正交切标架，若64341是曲线的单位切向量，那么光滑曲线的测地曲率为30，其中38是曲线的弧长参数由{64341，64342}是单位正交切标架，测地曲率同样可以表示为3061aaaalt64341，d64342d38aaaat61dv64342，这等价于说，光滑曲线的测地曲率是曲线的单位法向量的微分。

庞学林淡淡一笑，对佩雷尔曼的解释不可置否，又翻到了第十页，指着上面的证明道“那这里，在空间形式3633中，30是定义在严格凸环34264341上的调和函数，30连续到34264341。若30满足30|31341ansans1，30|313420，那么，就有|6330|33aaaat0，6633∈34264341，并且30的水平集严格凸。你在最后部分是如何给出极值原理的？”

佩雷尔曼继续解释是3133中有界连通区域，30∈362631036，在上考虑算子3535303038393337383930+313833373830+323330……

“那这里呢？30是具有常截面曲率的黎曼流形3633上的光滑函数，31393031和3139分别是3633上的ansansrannanansans曲率张量和ansansransans曲率，那么30393030383039+30313131383930和3039303030303038396123031323138313932+313831303139+r3931303138……这个如何证明？”

取ansans1ansans≤38，39，30，31，32≤33，ansans1ansans≤36≤33+ansans1。取3633中的正交标架场{64341，64342，……，643433，643433+1}，其中643433+1为外法向，则{64341，64342，……，6434}为切标架场，且6433643433+1，运动方程为……

……

在一旁观看的望月新一有些奇怪，庞学林怎么老是在黎曼流形问题上打转，而且问的都是一些比较浅显的问题，有些引理或者定义，推导出来是非常显而易见的。

倒是佩雷尔曼并没有表现出多少